Conceito:
Progressão Geométrica é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente mutiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.
Exemplos simples
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1
A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo:
Lembrando que, segundo a noção de P.A. :
Classificação:
Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:
(3, 6, 12, 24, 48, ...)
Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.
Assim, temos: an > an - 1
Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo:
(48, 24, 12, 6, 3, ...)
Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.
Assim, temos: an < an - 1
Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo:
(- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)
Concluindo que toda P.G. Alternate ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.
Termo Geral da P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de um qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a2 / a1 = q → a2 = a1 . q
a3 / a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q . q → a3 = a1 . q2
a4 / a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q2 . q → a4 = a1 . q3( e assim por diante)
Assim, concluímos que an = a1 . qn - 1 é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrendo que, se não tivessemos o primeiro termo da P.G., mas tivessemos outro como o terceiro, usariámos a sequinte fórmula:
an = ak . qn - k
Por exemplo:
Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...) determine o seu oitavo termo:
Primeiramente achamos a razão:
Agora resolvemos apartir do terceiro termo:
Progressão Geométrica é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente mutiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.
Exemplos simples
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1
A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo:
| q = an / an - 1 |
| ou seja |
| q = a2 / a1 = a3 / a2 = a4 / a3 = an / an-1 |
| an = a1 . qn - 1 |
| ou seja |
| a3 = a2 + q3 - 1 |
Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:(3, 6, 12, 24, 48, ...)
| q = a2 / a1 | onde | a1 = 3 |
| q = 6 / 3 | a2 = 6 (a2 = a1 . q → a2 = 3 . 2 → a2 = 6) | |
| q = 2 | a3 = 9 (a3 = a1 . q2 → a3 = 3 . 22 → a3 = 3 . 4 → a3 = 12) |
Assim, temos: an > an - 1
Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo:(48, 24, 12, 6, 3, ...)
| q = a2 / a1 | onde | a1 = 48 |
| q = 24 / 48 | a2 = 24 (a2 = a1 . q → a2 = 48 . 1/2 → a2 = 24) | |
| q = 1 / 2 | a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 48 . (1/2)2 → a3 = 48 . 1/4 → a3 = 12) |
Assim, temos: an < an - 1
Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo:(- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)
| q = a2 / a1 | onde | a1 = - 5 |
| q = 10 / -5 | a2 = 10 (a2 = a1 . q → a2 = - 5 . - 2 → a2 = 10) | |
| q = - 2 | a3 = - 20 (a3 = a1 . q2 → a3 = - 5 . (-2)2 → a3 = -5 . 4 → a3 = - 20) |
| Quadro Geral |
| P.G. Crescente → a1> 0 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 |
| P.G. Decrescente → a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1 |
| P.G. Constante → q = 1 |
| P.G. Alternante ou Oscilante → q < 0 |
Termo Geral da P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de um qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a2 / a1 = q → a2 = a1 . q
a3 / a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q . q → a3 = a1 . q2
a4 / a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q2 . q → a4 = a1 . q3( e assim por diante)
Assim, concluímos que an = a1 . qn - 1 é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrendo que, se não tivessemos o primeiro termo da P.G., mas tivessemos outro como o terceiro, usariámos a sequinte fórmula:
an = ak . qn - k
Por exemplo:
Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...) determine o seu oitavo termo:
Primeiramente achamos a razão:
| q = an / an - 1 | q = a4 / a3 | q = 24 / 12 | q = 2 |
| an = ak . qn - k a8 = a3 . q8 - 3 a8 = 12 . 25 a8 = 12 . 32 a8 = 384 | an → é o último termo especificamente pedido ak → é o primeiro termo escolhido k → é a posição do termo ak n → é a posição do termo an |
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