PA e PG - Matemática

Conceito:
Progressão Aritmética é toda sucessão de números onde qualquer termo, a partir do segundo, seu posterior é acrescentado um valor constante. Esse valor constante é indicado por r, e é denominado razão da progressão aritmética.

Exemplos simples
(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3
(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r = - 5
(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0
A razão de uma P.A. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

r = a_n - a_{n - 1}

ou seja

r = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = a_n - a_n-1

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

a_n = a_{n - 1} + r

ou seja

a₂ = a₁ + r

Classificação:

Quando r > 0, a P.A. é crescente. Por exemplo:
(3, 6, 9, 12, 15, ...)

r = a₂ - a₁	onde	a₁ = 3
r = 6 - 3		a₂ = 6 (a₂ = a₁ + r → a₂ = 3 + 3 → a₂ = 6)
r = 3		a₃ = 9 (a₃ = a₁ + 2r → a₃ = 3 + 2(3) → a₃ = 3 + 6 → a₃ = 9)

Concluindo que toda P.A. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Assim, temos: a_n > a_{n - 1}

Quando r < 0, a P.A. é decrescente. Por exemplo:
(15, 12, 9, 6, 3, ...)

r = a₂ - a₁	onde	a₁ = 15
r = 12 - 15		a₂ = 12 (a₂ = a₁ + r → a₂ = 15 - 3 → a₂ = 12)
r = - 3		a₃ = 9 (a₃ = a₁ + 2r → a₃ = 15 + 2(- 3) → a₃ = 15 - 6 → a₃ = 9)

Concluindo que toda P.A. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Assim, temos: a_n < a_{n - 1}

Quando r = 0, a P.A. é constante ou estacionária. Por exemplo:
(6, 6, 6, 6, ...)

r = a₂ - a₁	onde	a₁ = 6
r = 6 - 6		a₂ = 6 (a₂ = a₁ + r → a₂ = 6 + 0 → a₂ = 6)
r = 0		a₃ = 6 (a₃ = a₁ + 2r → a₃ = 6 + 2(0) → a₃ = 6 + 0 → a₃ = 6)

Concluindo que toda P.A. constante ou estacionária, tem seus temos iguais entre si.
Assim: ... = (a_{n - 2}) = (a_{n - 1}) = (a_n) = (a_{n +1}) = (a_{n + 2}) = ...

Quadro Geral

P.A. crescente → r > 0

P.A. decrescente → r < 0

P.A. constante → r = 0

Média Aritmética
Em toda P.A., qualquer termo é média aritmética entre seu anterior e seu posterior. Por exemplo:
(5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...)

a₃ = (a₂ + a₄) / 2 → a₃ = (8 + 14) / 2 → a₃ = 22 / 2 → a₃ = 11

a₅ = (a₄ + a₆) / 2 → a₅ = (14 + 20) / 2 → a₅ = 34 / 2 → a₅ = 17

assim

a_n = [(a_{n - 1}) + (a_{n + 1})] / 2

Raciocine um pouco ...
Se (a, b, c) estão em P.A., então b = (a + c) / 2 ou 2b = (a + c) / 2 ou 2 = (a + c) / 2

É bom observar ...

Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Por exemplo:
(5, 10, 15, 20, 25, 30)

a₁ + a₆ = 5 + 30 = 35	ou seja	(a, b, c, d, e, f)
a₂ + a₅ = 10 + 25 = 35		a + f = b + e = c + d
a₃ + a₄ = 12 + 20 = 35

Qualquer termo de uma P.A. finita, com exceção dos extremos, é média aritmética entre o anterior e o posterior. Por exemplo:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 24)

a₄ = (a₂ + a₆) / 2
a₄ = (5 + 21) / 2
a₄ = 26 / 2
a₄ = 13

a₄ = (a₃ + a₅) / 2
a₄ = (9 + 17) / 2
a₄ = 26 / 2
a₄ = 13

Termo Geral da P.A.
Muitas vezes, encontramos P.A. com apenas os primeiros termos, e a partir deles, podemos encontra a razão. Seria ainda melhor, se encontrássemos a partir da razão e do primeiro termo, toda a sequência. Compreenda porque:
r = a₂ - a₁
a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r → a₃ = (a₁ + r) + r → a₃ = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r → a₄ = (a₁ + 2r) + r → a₄ = a₁ + 3r
( e assim por diante)
Assim, concluímos que a_n = a₁ + (n - 1) . r é a fórmula que rege a demonstração acima, e é denominada como fómula do termo geral da P.A.
Observe que a₁₀ = a₅ + 5r, pois ao passar de a₄ para a₉, avançamos cinco termos. Assim, compreenda:
a_n = a_k + (n - k) . r
a₇ = a₃ + (7 - 3) . r
a₇ = a₃ + 4r
Pois ao passar de a₃ para a₇, avançamos 4 termos.

Soma dos termos de uma P.A. finita
Para calcular a soma dos termos de uma P.A. finita, usaremos a fórmula abaixo.

S_n = [(a_k + a_n) . n] / 2

S_n → é o valor da soma dos termos da sequência
a_k → é o primeiro termo escolhido da sequência
a_n → é o último termo escolhido da sequência
n → é a posição do último termo escolhido da sequência

Por exemplo:
Dê a soma dos sete primeiros termos da P.A. (x, 7, 11, ...)

r = a₃ - a₂
r = 11 - 7
r = 4

Ache o primeiro termo:
a₇ = a₁ + 6r
a₇ = 3 + 6(4)
a₇ = 27

S_n = [(a_k + a_n) . n] / 2
S_n = [(3 + 27) . 7] / 2
S_n = [30 . 7] / 2
S_n = 210 / 2
S_n = 105

Interpolação Aritmética
É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma P.A.. A fórmula utilizada é an = ak + (n + k) . r
Por exemplo:
Insira 5 meios aritméticos entre 5 e 17.
Para interpolarmos esses termos a partir do primeiro ou do último, necessitamos da razão. Então:

an = ak + (n - k) . r
17 = 5 + (7 - 1) . r
17 = 5 + 6r
6r = 17 - 5
6r = 12
r = 2

assim

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) → ( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17)

Conceito:
Progressão Geométrica é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente mutiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

Exemplos simples
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1

A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

q = a_n / a_{n - 1}

ou seja

q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = a_n / a_n-1

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

a_n = a₁ . q^{n - 1}

ou seja

a₃ = a₂ + q^{3 - 1}

Classificação:

Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:
(3, 6, 12, 24, 48, ...)

q = a₂ / a₁	onde	a₁ = 3
q = 6 / 3		a₂ = 6 (a₂ = a₁ . q → a₂ = 3 . 2 → a₂ = 6)
q = 2		a₃ = 9 (a₃ = a₁ . q² → a₃ = 3 . 2² → a₃ = 3 . 4 → a₃ = 12)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.
Assim, temos: a_n > a_{n - 1}

Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo:
(48, 24, 12, 6, 3, ...)

q = a₂ / a₁	onde	a₁ = 48
q = 24 / 48		a₂ = 24 (a₂ = a₁ . q → a₂ = 48 . 1/2 → a₂ = 24)
q = 1 / 2		a₃ = 12 (a₃ = a₁ . q² → a₃ = 48 . (1/2)² → a₃ = 48 . 1/4 → a₃ = 12)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.
Assim, temos: a_n < a_{n - 1}

Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo:
(- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

q = a₂ / a₁	onde	a₁ = - 5
q = 10 / -5		a₂ = 10 (a₂ = a₁ . q → a₂ = - 5 . - 2 → a₂ = 10)
q = - 2		a₃ = - 20 (a₃ = a₁ . q² → a₃ = - 5 . (-2)² → a₃ = -5 . 4 → a₃ = - 20)

Concluindo que toda P.G. Alternate ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.

Quadro Geral

P.G. Crescente → a₁> 0 ou a₁ < 0 e 0 < q < 1

P.G. Decrescente → a₁ < 0 e q > 1 ou a₁ > 0 e 0 < q < 1

P.G. Constante → q = 1

P.G. Alternante ou Oscilante → q < 0

Termo Geral da P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de um qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a₂ / a₁ = q → a₂ = a₁ . q
a₃ / a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q . q → a₃ = a₁ . q²
a₄ / a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q² . q → a₄ = a₁ . q³^{( e assim por diante)}
Assim, concluímos que a_n = a₁ . q^{n - 1} é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrendo que, se não tivessemos o primeiro termo da P.G., mas tivessemos outro como o terceiro, usariámos a sequinte fórmula:
a_n = a_k . q^{n - k}
Por exemplo:
Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...) determine o seu oitavo termo:
Primeiramente achamos a razão:

q = a_n / a^{n - 1}

q = a₄ / a₃

q = 24 / 12

q = 2

Agora resolvemos apartir do terceiro termo:

a_n = a_k . q^{n - k}
a₈ = a₃ . q^{8 - 3}
a₈ = 12 . 2⁵
a₈ = 12 . 32
a₈ = 384

a_n → é o último termo especificamente pedido
a_k → é o primeiro termo escolhido
k → é a posição do termo a_k
n → é a posição do termo a_n

Progressão Aritmética (PA)

Progressão Geométrica ( PG)

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